Question

已知函数f（x）=-x 3 +ax 2 +b（a，b∈R）。（1）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求a

已知函数f（x）=-x 3 +ax 2 +b（a，b∈R）。（1）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求a、b的值；（2）若x∈[-1，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，求k≥-1恒成立时a的取值范围。

Answer 1

解：（1）由 得x=0或x=2a/3 故2a/3=4，a=6 由于当x<0时， ，当x>0时 故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，所以b=-1； （2）等价于当x∈[0，1]时，-3x 2 +2ax≥-1恒成立，即g（x）=3x 2 -2ax-1≤0对一切x∈[0，1]恒成立 即g（x）的最大值不大于零，由g（x）的图象知其最大值是端点值。由于g（0）=-1≤0，故只需g（1）=2-2a≤0，即a≥1 反之，当a≥1时，g（x）≤0对一切x∈[0，1]恒成立 所以a≥1。