Question

如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB= 2 ，CE=1，G为AC与BD交点，F

如图，四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB= 2 ，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点，（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形， AB= 2 ， ∴AC=2，AC⊥BD，则CG=1=EC， ∵又F为EG中点，∴CF⊥EG． ∵EG⊥面ABCD，AC∩BD=G，BD⊥平面ECF， ∴CF⊥BDBD∩EG=G，∴CF⊥平面BDE （6分） （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系C（0，0，0）， F( 2 4 ， 2 4 ， 1 2 ) ， B(0， 2 ，0) [， A( 2 ， 2 ，0) ，E（0，0，1） 由（Ⅰ）知， CF =( 2 4 ， 2 4 ， 1 2 ) 为平面BDE的一个法向量 （9分） 设平面ABE的法向量n=（x，y，z）， 则 n? BA =0，n? BE =0 即 ( 2 ，0，0)(x，y，z)=0 (0，- 2 ，1)(x，y，z)=0 ∴ x=0且z= 2 y ∴ n=(0，1， 2 ) （11分） 从而 cos＜n， CF ＞= n? CF |n|?| CF | = 3 2 ∴二面角A-BE-D的大小为 π 6 ．（13分）