已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3...
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
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解答：
解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，|AF|＝3+
，∴|FD|＝|AF|＝3+
．
∵△ADF为正三角形，
∴|FG|＝
|FD|＝
+
．
又∵|FG|＝|OG|?|OF|＝3?
，
∴3?
＝
+
，
∴p=2．
∴C的方程为y2=4x．
（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴kAB＝?
．
由直线l1∥l可设直线l1方程为y＝?
x+m，
联立方程
，消去x得y1y2+8y?8m＝0 ①
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=-2，
这时方程①的解为y＝?
＝2m，代入y＝?
x+m得x=m2，∴E（m2，2m）．
点A的坐标可化为(
，?
)，直线AE方程为y-2m=
（x-m2），
即y?2m＝
(x?m2)，
∴y＝
x?
+2m，
∴y＝
x?
，
∴y＝
(x?1)，
∴直线AE过定点（1，0）；
（ⅱ）直线AB的方程为y?y1＝?
(x?
)，即x＝?
y+
+2．
联立方程
，消去x得y2+
y?(
+8)＝0，
∴y1+y2＝?
，
∴|AB|＝
|y1?y2|=
|2y1+
|，
由（ⅰ）点E的坐标为E(
，?
)，点E到直线AB的距离为d＝
解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，|AF|＝3+| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
∵△ADF为正三角形，
∴|FG|＝
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| p |
| 4 |
又∵|FG|＝|OG|?|OF|＝3?
| p |
| 2 |
∴3?
| p |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| p |
| 4 |
∴p=2．
∴C的方程为y2=4x．
（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，
∴D（x1+2，0），
∴kAB＝?
| y1 |
| 2 |
由直线l1∥l可设直线l1方程为y＝?
| y1 |
| 2 |
联立方程
|
由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=-2，
这时方程①的解为y＝?
| 4 |
| y1 |
| y1 |
| 2 |
点A的坐标可化为(
| 1 |
| m2 |
| 2 |
| m |
2m+
| ||
m2?
|
即y?2m＝
| 2m |
| m2?1 |
∴y＝
| 2m |
| m2?1 |
| 2m3 |
| m2?1 |
∴y＝
| 2m |
| m2?1 |
| 2m |
| m2?1 |
∴y＝
| 2m |
| m2?1 |
∴直线AE过定点（1，0）；
（ⅱ）直线AB的方程为y?y1＝?
| y1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 2 |
| y1 |
| ||
| 4 |
联立方程
|
| 8 |
| y1 |
| y | 2 1 |
∴y1+y2＝?
| 8 |
| y1 |
∴|AB|＝
1+
|
1+
|
| 8 |
| y1 |
由（ⅰ）点E的坐标为E(
| 4 | ||
|
| 4 |
| y1 |
| | |
