Question

设A是n阶实对称矩阵，满足条件：（1）全部元素不为0 （2）r（A）=1证明：（1）A～∧＝0 &...

设A是n阶实对称矩阵，满足条件：（1）全部元素不为0 （2）r（A）=1证明：（1）A～∧＝0 0 … k，其中k为常数且k=trA；（2）求P，使P-1AP=∧．

Answer 1

（1）由A是n阶实对称矩阵，知A可以对角化
由r（A）=1，知0是A的特征值，且Ax=0的基础解系有n-1个解向量
即特征根0的重数不小于n-1
又相似的矩阵有相同的秩，因此r（A）=r（∧）=1
且所有的特征值等于矩阵的迹
∴k=trA
（2）由于r（A）=1，因此
A

a1 a2 … an 0 0 … 0 ? ? ? ? 0 0 … 0

∴Ax=0的基础解系，即特征值0的特征向量为：
α1＝(?a2，a1，0，…，0)T
α2＝(?a3，0，a1，0，…，0)T
…
αn?1＝(?an，0，…，0，an?1)T
又不同特征值的特征向量是正交的，因此k的特征向量为
an＝(a1，a2，…，an)T
∴令P=（α₁，α₂，…，α_n），则P^-1AP=∧．