Question

如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直

如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连接AD、BD得到△ABD．（i）求实数a，b，k满足的等量关系；（ii）△ABD的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意：4+

1

2

p＝5，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程组

y＝kx+b y2＝4x

消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依题意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

．
由|y₁-y₂|=a，得(y1+y2)2?4y1y2＝a2
依题意：4+

1

2

p＝5，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（Ⅱ）（i）由方程组

y＝kx+b y2＝4x

消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依题意可知：k≠0．
由已知得y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

4b

k

由|y₁-y₂|=a，得(y1+y2)2?4y1y2＝a2，即

16

k2

?

16b

k

＝a2，整理得16-16kb=（ak）²．
所以（ak）²=16（1-kb）
（ii）由（i）知AB中点M（