Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P（1，32）在椭圆C上

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P（1，32）在椭圆C上．（I）求椭圆C的方程；（II）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2M⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

Answer 1

（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1 （a＞b＞0），
由已知可得

1 a2 + 9 4b2 ＝1 a2＝b2+c2 c＝1

，
解得：a=2，b＝

3

，
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（II）如图，
由

y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1

，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，化简得：m²=4k²+3．
设