Question

已知函数f（x）的定义域是 {x|x∈R，x≠ k 2 ，k∈Z} 且f（x）+f（2-x）=0， f(x+1)=- 1

已知函数f（x）的定义域是 {x|x∈R，x≠ k 2 ，k∈Z} 且f（x）+f（2-x）=0， f(x+1)=- 1 f(x) ，当 0＜x＜ 1 2 时，f（x）=3 x ．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）求f（x）在区间 (2k+ 1 2 ，2k+1)(k∈ Z）上的解析式；（3）是否存在正整数k，使得当x∈ (2k+ 1 2 ，2k+1) 时，不等式log 3 f（x）＞x 2 -kx-2k有解？证明你的结论．

Answer 1

（1）由 f(x+1)=- 1 f(x) 得 f(x+2)=- 1 f(x+1) =f(x) ，（3分） 由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分） 故f（x）是奇函数．（5分） （2）当x∈ ( 1 2 ，1) 时， 1-x∈(0， 1 2 ) ， ∴f（1-x）=3 1-x ．     （7分） 而 f(1-x)=- 1 f(-x) = 1 f(x) ， ∴f（x）=3 x-1 ．       （9分） 当x∈ (2k+ 1 2 ，2k+1)(k∈ Z）时， x-2k∈( 1 2 ，1) ， ∴f（x-2k）=3 x-2k-1 ， 因此f（x）=f（x-2k）=3 x-2k-1 ．                      （11分） （3）不等式log 3 f（x）＞x 2 -kx-2k即为x-2k-1＞x 2 -kx-2k， 即x 2 -（k+1）x+1＜0．                          （13分） 令g（x）=x 2 -（k+1）x+1，对称轴为 x= k+1 2 ＜2k+ 1 2 ， 因此函数g（x）在 (2k+ 1 2 ，2k+1) 上单调递增．         （15分） 因为 g(2k+ 1 2 )=(2k+ 1 2 ) 2 -(k+1)(2k+ 1 2 )+1=(2k+ 1 2 )(k- 1 2 )+1 ，又k为正整数， 所以 g(2k+ 1 2 )＞0 ，因此x 2 -（k+1）x+1＞0在 (2k+ 1 2 ，2k+1) 上恒成立，（17分） 因此不存在正整数k使不等式有解．                     （18分）