Question

如图1，直线y=-43x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线y=kx交于点C（2，43）．平行于y轴的直线l从原点O

如图1，直线y=-43x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线y=kx交于点C（2，43）．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止；直线l分别交线段BC、OC、x轴于点D、E、P，以DE为斜边向左侧作等腰直角△DEF，设直线l的运动时间为t（秒）．（1）填空：k=______；b=______；（2）当t为何值时，点F在y轴上（如图2所示）；（3）设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式（不要求写解答过程），并写出t的取值范围．

Answer 1

（1）把（2，

4

3

）代入y=-

4

3

x+b得：-

8

3

+b=

4

3

，解得：b=4；
把（2，

4

3

）代入y=kx中，2k=

4

3

，解得：k=

2

3

．
故答案是：

2

3

，4；
（2）解：由（1）得两直线的解析式为：
y=-

4

3

x+4和y=

2

3

x，
依题意得OP=t，则
D（t，-

4

3

t+4），E（t，

2

3

t），
∴DE=-2t+4，
作FG⊥DE于G，则FG=OP=t
∵△DEF是等腰直角三角形，FG⊥DE，
∴FG=

1

2

DE，
即t=

1

2

（-2t+4），
解得t=1．

（3）当0＜t≤1时（如图1），S_△DEF=

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）?

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）=

1

4

（-2t+4）²=（t-2）²，
在y轴的左边部分是等腰直角三角形，底边上的高是：

1

2

（-

4

3

t+4-

2

3

t）-t=

1

2

（-2t+4）-t=2-2t，则面积是：（2-2t）²．
S=（t-2）²-（2-2t）²=-3t²+4t；
当1＜t＜2时（备用图），作FK⊥DE于点K．
S=（t-2）²．