如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90?，点C是AB上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA
如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90?，点C是AB上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点...
如图，扇形OAB的半径为4，圆心角∠AOB=90?，点C是AB上异于点A、B的一动点，过点C作CD⊥OB于点D，作CE⊥OA于点E，联结DE，过O点作OF⊥DE于点F，点M为线段OD上一动点，联结MF，过点F作NF⊥MF，交OA于点N．（1）当tan∠MOF=13时，求OMNE的值；（2）设OM=x，ON=y，当OMOD＝12时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）在（2）的条件下，联结CF，当△ECF与△OFN相似时，求OD的长．
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解；（1）如图1，∵∠AOB=90?，CE⊥OA，CD⊥OB，
∴四边形ACDO是矩形，
∴DE=OC=4，
∵OF⊥DE，
∴OF2=DF?FE
∵tan∠MOF=
| 1 |
| 3 |
∴
| DF |
| OF |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴OF2=
| 1 |
| 3 |
| OF |
| FE |
| 1 |
| 3 |
∵∠MFO+∠OFN=∠NFE+∠OFN=90°，
∴∠MFO=∠NFE，
∵∠MOF+∠ODE=∠NEF+∠ODE=90°，
∴∠MOF=∠NEF，
∴△OMF∽△ENF，
∴
| OM |
| NE |
| OF |
| EF |
| 1 |
| 3 |
| OM |
| NE |
| 1 |
| 3 |
（2）如图2，连接MN，
设OM=x，ON=y，
∵
| OM |
| OD |
| 1 |
| 2 |
∴OM=MD=MF=x，
∵∠MON=∠MFN=90°，
∴MN是∠ONF的角平分线，
∴MN是OF的中垂线，
∴ON=NF，可得∠FON=∠NFO
∵∠FON+∠NEF=∠NFO+∠NFE，
∴∠NEF=∠NFE，
∴ON=NE=NF=y，
∵DE=OC=4，
在RT△DOE中，OD2+OE2=DE2
∴（2x）2+（2y）2=42，即y2=4-x2（0＜x≤2），
（3）如图3，
①∵△ECF∽△OFN
∴
| OF |
| ON |
| EC |
| EF |
利用△DOE的面积，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵OD=2x，OE=2y，DE=4，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解得，OF=xy，
∵OE=2y，
∴EF=
| OE2?OF2 |
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