Question

已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2

已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．

Answer 1

证明：如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，
∴△MCQ≌△MBN，
∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，
连接PN，∵PM⊥QM，
∴PM垂直平分NQ，
∴PN=PQ，
∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠MBN=90°，
即△PBN是直角三角形，
根据勾股定理可得，PN²=PB²+BN²，
∴PQ²=PB²+QC²．