Question

已知函数f(x)＝1x+lnx?1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区

已知函数f(x)＝1x+lnx?1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：nnem≥mnen．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f(x)＝

1

x

+lnx?1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)＝?

1

x2

+

1

x

＝

x?1

x2

…（1分）
令f′（x）＞0得x＞1，令f′（x）＜0得0＜x＜1…（2分）
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）…（3分）
（Ⅱ）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=（

1

x

-lnx-1）e^x+1，…（5分）
由（Ⅰ）易知，f（x）_min=f（1）=0，
∴当x₀∈（0，+∞）时，

1

x0

+lnx0?1≥0 …（6分）
又ex0＞0，∴g′（x₀）≥1＞0 …（7分）
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x₀）=0有实数解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解．…（8分）
故不存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得：f(x)＝

1

x

+lnx?1≥0，x＞0（当且仅当x=1是等号成立） …（10分）
∵m＞0，n＞0，
∴f(

n

m

)≥0…（12分）
∴

m

n

+ln

n

m

?1≥0?ln

n

m

≥

n?m

n

?nln

n

m

≥n?m?(

n

m

)n≥en?m
整理得：nⁿe^m≥mⁿeⁿ…（14分）