Question

已知数列{an}是非常值数列的等差数列，Sn为其前n项和，S5=25，且a1，a3，a13成等比数列；（Ⅰ）求数列{an

已知数列{an}是非常值数列的等差数列，Sn为其前n项和，S5=25，且a1，a3，a13成等比数列；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝2an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，若T2n-Tn≥t对一切正整数n恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，S5＝

a1+a5

2

?5＝

2?a3

2

?5＝a3?5＝25，
∴a₃=5．
a₁，a₃，a₁₃成等比数列．则25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）?2=2n-1．
数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）bn＝

2

an+1

＝

2

2n?1+1

＝

1

n

，Tn＝1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
令An＝T2n?Tn＝

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
则An+1?An＝(

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

)?(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=?

1

n+1

+

1

2n+1

+

1

2n+2

＝?

1

2n+2

+

1

2n+1

＞0，∴An≥A1＝

1

2

．
实数t的取值范围为：t≤

1

2