Question

单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD中点，平面A1EF交BB1于M，交DD1于N（1）画出几何体A1MEFN-A

单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD中点，平面A1EF交BB1于M，交DD1于N（1）画出几何体A1MEFN-ABEFD的直观图与三视图；（2）设AC中点为O，在CC上存在一点G，使CG=λCC1，且OG⊥平面A1EF，求λ；（3）求A1C与平面A1EF所成角的正弦值．

Answer 1

（1）几何体的直观图如下左图，三视图如下右图

（2）选择A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线为x，y，z轴，则E（1，0.5，0），F（0.5，1，0），A₁（0，0，1），G（1，1，λ），O（0.5，0.5，0），
∴

OG

=（0.5，0.5，λ），

A1E

=（1，0.5，-1），
∵OG⊥平面A₁EF，A₁E?平面A₁EF
∴

OG

⊥

A1E

∴0.5+0.25-λ=0，解得λ=0.75
（3）由（2）知，平面A₁EF的一个法向量是

OG

=（0.5，0.5，0.75），

A1C

=（1，1，-1）
A₁C与平面A₁EF所成角的正弦值为sinθ=

OG . A1C

| OG || A1C |

=

51

51