Question

若|x+1|+|2x+a|≥-y2+2y+2对于任意的x，y恒成立，则实数a的值为______

若|x+1|+|2x+a|≥-y2+2y+2对于任意的x，y恒成立，则实数a的值为______．

Answer 1

-y2+2y+2=-(y-1)2+3右边函数最大值为3，然后|x+1|+|2x+a|≥|x+1|+|x+a/2|≥|x+1-x-a/2|=|1-a/2|=3
所以a=8或-4. 根据图像你就可以知道a的范围，结果是a≤-4或a≥8

Answer 2

由-y²+2y+2=-（y-1）²+3，最大值为3，所以只需|x+1|+|2x+a|≥3即可．
当?

a

2

≤?1时即a≥2时，f(x)＝

3x+a+1，(x＞?1) x+a?1，(? a 2 ≤x≤?1) ?3x?a?1，(x＜? a 2 )

，易知当x=?

a

2

时，函数取最小值f(?

a

2

)＝

a

2

?1＝3，所以a=8．
当?

a

2

＞?1即a＜2时，f(x)＝

3x+a+1，(x＞? a 2 ) ?x?a+1，(?1≤x≤? a 2 ) ?3x?a?1，(x＜?1)

，易知当x＝?

a

2

时，函数取最小值f（?

a

2

）=?

a

2

+1＝3，所以a=-4．
故a的值为-4或8．
故答案为：-4或8．