Question

关于一道物理题中的向量问题

A,B两质点分别沿半径为a和b的同心圆作同方向的匀速圆周运动，两质点运动速率与半径成反比。试求：当两质点的相对速度方向与它们的连线平行时，两质点与圆心连线间的夹角θ。

我的做法：因为两质点运动速率与半径成反比，所以设A的速度向量为e(A垂直)/a，其中e(A垂直)为单位向量，同理B的速度向量为e(B垂直)/b，其中e(B垂直)为单位向量。(e(A垂直)/a-e(B垂直)/b).(e(A平行)/a-e(B平行)/b)=0，又因为当两质点的相对速度方向与它们的连线平行，所以(e(A平行)/a-(e(B平行)/b).(ae(A平行)-be(B平行))⑴，因为|e(A平行)|=|e(B平行)|=1，所以由⑴得b^2=a^2，或者e(A平行)垂直于e(B平行)，这明显和答案不符，请问我这样算到底错在哪了？
打错了一点其中：(e(A平行)/a-(e(B平行)/b).(ae(A平行)-be(B平行))=0

Answer 1

恕我冒昧，看你的做法看了一半看的眼花了。。。

在提出我的思路之前我想问一下，速度与半径成反比，这两个的比例系数一致吗？

我的思路：

1. 以角速度表示圆周运动速度；

2. 建立极坐标系；

3. 计算以运动时间t为自变量的 向量BA的表达式；

4. 以t为变量的 速度向量表达式  A、B分别表示；

5. 根据4求解 表示AB相对速度的向量表达式 记为向量detV （也是以t为变量的）；

6. 根据题设的平行关系 以及3、5中所得表达式 向量BA 叉乘 向量detV = 0向量求解t（应当是与角速度以及a，b有关的表达式）；

7. 角θ 用角速度和运动时间t表示、化简、得出答案。

不过我感觉这不是在做物理题目了。就像有时数学的解析几何证明可以用物理中的定理快速得出结论。

过程中有些量不着急计算，如果频繁正交分解不如一开始就建立直角坐标系了。