Question

数学必修四三角恒等变换

Answer 1

sin(b+π/4)=√2/10

0<b<π
π/4<b+π/4<5π/4
cos(b+π/4)=-7√2/10
tan(b+π/4)=-1/7
tan(b+π/4)=(1+tanb)/(1-tanb0=-1/7
tanb= -4/3

Answer 2

　　二倍角
　　sin2α = 2cosαsinα = 2tanα / （1 + tan²α）
　　cos2α = cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α－1
　　tan2α = 2tanα/[1 － (tanα)²]

　　二倍角变式
　　sin2α = sin^2(α + π/4) － cos^2(α + π/4) = 2sin^2(a + π/4) － 1 = 1 － 2cos^2(α + π/4);
　　cos2α = 2sin(α + π/4)cos(α + π/4)
　　
　　三倍角
　　sin3α=3sinα-4sin³α
　　cos3α=4cos³α-3cosα
　　tan3α=（3tanα-tan³α）/（1-3tan²α）
　　sin3α=4sinα×sin（π/3-α）sin（π/3+α）
　　cos3α=4cosα×cos（π/3-α）cos（π/3+α)
　　tan3α=tanα×tan（π/3-α）tan（π/3+α）

　　n倍角
　　根据欧拉公式(cos θ+i·sin θ)^n=cos nθ+i·sin nθ （注：sin θ前的 i 是虚数单位，即-1开方）
　　将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
　　sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
　　cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
　　
　　辅助角
　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)]
　　Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]

　　半角公式
　　sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
　　cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
　　tan(α/2)=±√[(1-sinα)/(1+sinα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
　　cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα
　　sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
　　csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

　　半倍角
　　sin²（α/2）=（1-cosα）/2
　　cos²（α/2）=（1+cosα）/2
　　tan²（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
　　tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

　　半角变形
　　sin²（α/2）=（1-cosα）/2
　　sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] （ a/2在一、二象限）
　　或=-√[（1-cosα）/2] （a/2在三、四象限）
　　cos²（α/2）=（1+cosα）/2
　　cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] （ a/2在一、四象限）
　　或=-√[（1+cosα）/2] （a/2在二、三象限）
　　tan²（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
　　tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] （ a/2在一、三象限）
　　或=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] （ a/2在二、四象限）