Question

已知椭圆x^2+y^2/b^2=1（0＜b＜1）的左焦点为F，左右顶点分别为AC，上顶点为B，过F、B、C、作圆P，

圆心P坐标为（m，n） 求： （1）当m+n大于0时，椭圆离心率的范围 （2）直线AB与圆P能否相切？证明你的结论 急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急！！！！！！！！！！

Answer 1

设P(acosθ,bsinθ）,F1(-c,0),F2(c,0)
向量PF1=(-c-acosθ,-bsinθ)
向量PF2=(c-acosθ,-bsinθ)
向量PF1与向量F2的点乘积
=(-c-acosθ)(c-acosθ)+(-bsinθ)(-bsinθ)
=a²cos²θ-c²+b²sin²θ
=a²(1-sin²θ)-c²+b²sin²θ
=a²-c²-(a²-b²)sin²θ
=b²-(a²-b²)sin²θ
因为F1、F2分别是椭圆左右两个焦点
所以a>b>0
所以向量PF1与向量F2的点乘积的范围是[2b²-a²,b²]
由题设知向量PF1与向量F2的点乘积的范围是[-4/3，4/3]
所以2b²-a²=-4/3,b²=4/3
即a²=4,b²=4/3
所以此椭圆方程为:x²/4+3y²/4=1

Answer 2

解：（1）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为
x=(1-c)/2，y-(b/2)=(x-1/2)/b
联立方程组，解出x=(1-c)/2,y=(b²-c)/2b
m+n=(1-c)/2+(b²-c)/2b>0，即b-bc+b²-c>0，即（1＋b）（b－c）>0，
∴ b>c．
从而b²>c²即有a²>2c²，∴e²<1/2．
又e>0，∴0<e<1/2．
（2）直线AB与⊙P不能相切．
由kAB=b，kPB=[b-(b²-c)/2b]/[0-(1-c)/2]=(b²+c)/b(c-1)．
如果直线AB与⊙P相切，则b(b²+c)/b(c-1)＝－1．
解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，
所以直线AB与⊙P不能相切．

p.s.第二小题亦可以用圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB²＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾．