Question

连续型随机变量x的概率密度为

连续型随机变量x的概率密度为
连续型随机变量x的概率密度为
f(x)={ kx+1 0＜x＜2
0 其他
求1.常数k
2.x分布函数F(x)
3.p{1≤x≤3}

Answer 1

f(x)为概率密度函数则：
(-∞,+∞)∫f(x) = 1 ==> [0,2]∫(kx+1)dx =1
==> 2k+2=1 ==> k =-1/2
将 k=-1/2 代入 ==> f(x) = -x/2 +1
当 0<x<2时 f(x)>0，其他 f(x) =0， 符合密度函数定义，因此k=-1/2
2. 0<x<2 时对密度函数做积分得:
F(x) = (-∞,x)∫f(x)
= (0,x)∫(-x/2+1)dx = -x²/4+x (0<x<2)
因此分布函数为：
F(x) = 0, (x≤0)
F(x) = -x²/4+x (0<x<2)
F(x) = 1 (x≥2)
3. p{1≤x≤3} = F(3) - F(1) = 1- (-1/4+1) =1/4
对于随机变量X，若存在一个非负的可积函数f(x)(x∈R)，使对于任意两个实数a、b（假设a<b），都有：
P{a<x<b}=
则称X为连续性随机变量。其中f(x)为X的概率分布密度函数，记为X～f(x).
能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定，变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。

Answer 2

解：
f(x)为概率密度函数则：
(-∞,+∞)∫f(x) = 1 ==> [0,2]∫(kx+1)dx =1
==> 2k+2=1 ==> k =-1/2
将 k=-1/2 代入 ==> f(x) = -x/2 +1
当 0<x<2时 f(x)>0，其他 f(x) =0， 符合密度函数定义，因此k=-1/2
2. 0<x<2 时对密度函数做积分得:
F(x) = (-∞,x)∫f(x)
= (0,x)∫(-x/2+1)dx = -x²/4+x (0<x<2)
因此分布函数为：
F(x) = 0, (x≤0)
F(x) = -x²/4+x (0<x<2)
F(x) = 1 (x≥2)
3. p{1≤x≤3} = F(3) - F(1) = 1- (-1/4+1) =1/4