Question

矩阵通过初等变化后得到的矩阵与原来的矩阵等价，具体是什么意思？难道下面变换后的两个方程组等价吗？

Answer 1

矩阵等价指的是矩阵，不是方程组
方程组等价是指方程组的解相同
这是两个不同的概念

矩阵等价有两个意思

1、其中一者能够经过若干次变成另一者。
2、它们有相同的秩，也就是初等变换不改变矩阵的秩。

所以，你写的两个方程组，系数构成的矩阵是等价的，
但两个方程组不是等价的。

追问

方程组等价，光是初等变换还不行，还必须是增广矩阵的初等变换，什么是增广矩阵的初等变换？

追答

方程组等价，只能用初等行变换

你这个是列变换

追问

感谢！！

追答

不客气，谢谢采纳

上次的轮转对称弄明白了吗

Answer 2

一个矩阵经过有限次初等变换后变成另一个矩阵，称这两个矩阵等价。一个矩阵通过不同的初等变换可以得到不同的矩阵，所有的这些矩阵构成一个集合，集合中的所有元素(矩阵)都满足这样一个关系：任一元素经过有限次初等变换可以变成另一个元素。把这种关系定义成元素之间的等价。所以说等价其实是一种关系。

追答

方程组的增广矩阵经过有限次的初等变换，方程组的解不变。你列出的方程组之所以没看出这种这种关系是因为你只对方程组的系数矩阵做了初等变换，应该对其增广矩阵做初等变换。做做试试看。

修正一下，上个图片中第一句话应改为：方程组的增广矩阵经过有限次的初等行变换，方程组的解不变。

追问

上述图片也叫初等变化？矩阵等价还不能说得到的方程组的解一样因为必须是增广矩阵的初等变换？增广矩阵是指？

谢谢你了

追答

Answer 3

考研老学长告诉你哈，
不等价啊，你算下xy值都不一样了。初等变换前后秩是不变的，但模值（行列式）可能改变。
矩阵初等变换等价于给矩阵左乘或右乘一个初等矩阵，变换后行列式|P||A|不一定等于|A|，只有一种情况|P|=1时，|P||A|=|A|,即对矩阵A进行了倍加变换（左或者右乘了一个倍加初等矩阵。翻书看看倍加初等矩阵是一个三角矩阵，行列式等于主对角线元素乘积，为1）。
初等变换实际上就是在求逆矩阵、求秩、解方程。
挖坟了哈哈，如推荐所言，除了求秩可以用列或者行变换，其他情况只能用行变换，否则矩阵表征的方程组不等价。