连续函数在闭区间上的最大最小值定理证明。

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杨叔说娱乐
2019-08-09 · 专注娱乐点评,分享娱乐。
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闭区间上的连续函数,必然有最大值和最小值。这是有定理的。开区间(含半开区间)上的连续函数就不一定有最大值和最小值了。区间内的非连续函数也不一定有最大值和最小值。

函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的。

对于这种现象,说因变量关于自变量是连续变化的,连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知,一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料

闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指,对任意ε>0(无论其多么小),总存在正数δ,当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时,有|f(x1)-f(x2)|<ε,就称f(x)在I上是一致连续的。

证明:利用有限覆盖定理:如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖,那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。详细证法参考相应词条。

参考资料来源:百度百科-连续函数

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是你找到了我
高粉答主

2019-07-22 · 说的都是干货,快来关注
知道小有建树答主
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当函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数时,存在c属于[a,b],d属于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。

在数学分析中,极值定理说明如果实函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数,则它一定存在至少一个的最大值和最小值,即[a,b]区间内至少存在两点存在x1和x2,对任意

 恒有

有界闭区域上的二元连续函数也有类似于一元函数的最值定理。同理,根据有界性定理,可得在闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界,即存在实数m和M,使得:m≤f(x)≤M。

这表明极值定理强化了有界性定理,它表明函数不仅是有界的,而且它的最小上界就是最大值,最大下界就是最小值。

扩展资料:

证明最值定理的基本步骤为:

1、证明有界性定理。

2、寻找一个序列,它的像收敛于f(x)的最小上界。

3、证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点。

4、用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。

5、同理证明最大下界。

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zzllrr小乐
高粉答主

推荐于2018-10-26 · 小乐数学,小乐阅读,小乐图客等软件原作者,“zzllrr小乐...
zzllrr小乐
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用有界性定理来证明
设闭区间是[a,b],连续函数为f(x).
根据有界性定理,函数f(x)所有取值得到的集合,必然是有界数集,所以必有上确界和下确界。
然后考虑不等式a≤f(xn)≤a+1/n
其中{xn}是有界数列,根据Bolzano-Weierstrass定理,存在收敛子数列{xnk}
使得其极限是t,且t∈[a,b]
且有a≤f(xnk)≤a+1/nk, k=1,2,3,⋯
令k→∞,由极限的夹逼性与f(x)在点t的连续性,得到
f(t)=a
则f(x)在[a,b]取得最小值。

类似的,可以证明有最大值。
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百度网友af34c30f5
2015-05-06 · TA获得超过4.4万个赞
知道大有可为答主
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