Question

高等数学：第一、二类曲线积分

1、L为直线2x+3y-6=0在第一象限的部分,求∫Lln(8+4x+6y)ds

2、L为x^2+y^2=1上从点A(1,0)到B(0,1)在第一象限内一段弧,则∫Lxln(1+x^2+y^2)dx+yln(1+x^2+y^2)dy=

Answer 1

对弧长的曲线积分(第一类曲线积分):设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如:对L'的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。
在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式(比如说)在推广之后都是以曲线积分的形式出现( )。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

Answer 2

1、 L为直线 2x+3y-6=0 在第一象限的部分,
∫<L>ln(8+4x+6y)ds = ∫<0,3>ln(8+12)*√[1+(-2/3)^2]dx = √13ln20.
2、 L为 x^2+y^2=1 上从点 A(1,0) 到 B(0,1) 在第一象限内一段弧,
设 x = cost, y=sint , 0 ≤ t ≤ π/2 , 则
∫<L> xln(1+x^2+y^2)dx+yln(1+x^2+y^2)dy
= ∫<0,π/2> [costln2(-sint)+sintln2cost]dt = 0

追问

您好，能否详细说明一下∫ln(8+12)是怎么的来的呀？

Answer 3

∫<L>ln(8+4x+6y)ds = ∫<0,3>ln(8+12)*√[1+(-2/3)^2]dx = √13ln20.
2、 L为 x^2+y^2=1 上从点 A(1,0) 到 B(0,1) 在第一象限内一段弧,
设 x = cost, y=sint , 0 ≤ t ≤ π/2 , 则
∫<L> xln(1+x^2+y^2)dx+yln(1+x^2+y^2)dy
= ∫<0,π/2> [costln2(-sint)+sintln2cost]dt = 0