Question

数学问题，急！！

已知两个全等三角形纸片ABC、DEF，如图一放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC∠30°，AB=DE=4
（1）求证：△EGB是等腰三角形
（2）若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小多少度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图二），求此时梯形的高

Answer 1

(1)证：∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°
∴∠FDE=∠A=60°
∴∠GBE=30°=∠E
∴△EGB是等腰三角形
(2)解：要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，则AC‖DE，设BC交DE于H，
∵∠C=90°
∴BC⊥DE，△ABC绕点F逆时针旋转角度∠DFH=30°，CH为梯形的高
∴EF*DF=DE*FH
∵∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4
∴AC=DF=2，BC=EF=2√3
∴CF=BC-DF=2√3-2，FH=EF*DF/DE=√3
∴CH=CF+FH=3√3-2

楼上的，旋转点是F点，不是C点，梯形的高是CH而不是FH，别转晕了……

Answer 2

（1）证明：∵ ∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC∠30°
∴ ∠EDF=90-∠E=90°-30°=60°
又∵∠EDF=∠ABC+∠EDA
∴ ∠EBA=∠EDF-∠ABC = 60°-30°=30°
∴ ∠EBA=∠E
根据等腰三角形定理，若三角形中有两个角相等，那么该三角形为等
腰三角形。
∴△EGB为等腰三角形
（2）证明：由图可知，要使四边形ACDE为梯形，则△ABC的边BC和△DEF的边DE 垂直，假设其交点为H，则∠DHF = 90°
由（1）知∠EDF=60°，所以 ∠BFD=30°，因此，△ABC绕点F逆时针旋转最小30度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形。当然旋转390°、750°……都可使四边形ACDE成为以ED为底的梯形，但是题目中的要求是最小度数，应该为30°.

解：在直角△DEF中，
∵DE=4，∠EDF=60°
∴DF = DE•cos∠EDF = 4×cos60°=4×1/2=2
假设梯形ACDE的高为h,则
h=CF+FH
∵从图1可知，BF=DF
∴BF=2
在△ABC中，因为∠ABC=30°，AB=4
所以BC=AB•cos∠ABC=4×cos30°=4×√3/2=2√3
∴CF=BC-BF=2√3-2
在△DFH中，因为∠HDF=∠EDF=60°，DF=2
∴FH=DF•sin∠HDF=2×sin60°=2×√3/2 = √3
综上，梯形ACDE的高h=CF+FH=2√3-2+√3 =3√3-2