Question

考研线代二次型的一道证明题，求大神解答。第30题

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Answer 1

【证明】
设λ1≥λ2≥...≥λn，是A的n个特征值。

由二次型正交化得知，x=Py，P-1=PT，使得
f=xTAx=yT∧y=λ1y1²+λ2y²+...+λnyn²
xTx=(Py)TPy=yTy，所以||x||²=||y||²=1
f=λ1y1²+λ2y²+...+λnyn²≤λ1(y1²+y2²+...+yn²)=λ1
然而，y=e1=(1,0,...,0)时，由x=Py，P=(p1，p2，...，pn)，当y=e1时，x=Pe1=p1，
f=yT∧y=λ1

所以当x取最大特征值λ1对应的特征向量P1时，f可以取到最大值λ1。

【评注】

定理
设A是对称矩阵,令m=min{xTAx:‖x‖=1},M=max{xTAx:‖x‖=1},那么M是A的最大特征值λ1,m是A的最小特征值,如果x是对应M的单位特征向量α1,那么xTAx的值等于M,如果x是对应m的单位特征向量α2,xTAx的值等于m。

当xTx=k时，是一般情况。解法同上一样。

newmanhero 2015年7月17日16:59:39

希望对你有所帮助，望采纳。