Question

复变函数 分式线性映射

也就是说前一个式子可以把上半平面映射成单位圆，后一个式子可以把上半单位圆映射成第一象限的区域。这两个式子是从哪里推导出来的，或者说我应该怎样对不同的映射特征写出对应的式子？

Answer 1

所有的分式线性映射都可以看作是三种映射复合而成，这三种映射是：w=az,w=z+b,w=1/z，它们分别代表了：旋转伸缩变换，平移变换和关于单位圆的对映变换。知道这个关系后，就可以证明如下的结论：把z平面上的z1，z2，z3三个点映射到w平面上w1，w2，w3三个点的共形映射由下式给出：(w-w1)/(w-w2):(w3-w1)/(w3-w2)=(z-z1)/(z-z2):(z3-z1)/(z3-z2)。（参见王绵森《复变函数》）上半平面可以看做是半径无穷大的圆周内部，其圆心在任意一处。所以上面的式子实际意义是把i映射到圆心，把-i映射到无穷远点。类似的，第二个也可以这样分析。之后，确定分式线性映射只需明确三个点分别映射到哪三个点就可以了。关于共形映射的详细讨论，可以参考史济怀《复变函数》或者王绵森《复变函数》