Question

求函数值域 用三角函数换元法

Answer 1

解由1-a^2≥1
即a^2≤1
即-1≤a≤1
故设a=sinx x属于[-π/2，π/2]
则√1-a^2=√[1-(sinx)^2]=cosx
故原式
=（sinx+cosx-1）/2
=（√2（√2/2sinx+√2/2cosx)-1）/2
=（√2sin(x+π/4)-1）/2
由x属于[-π/2，π/2]
则x+π/4属于[-π/4，3π/4]
即sin（x+π/4）属于[-√2/2,1]
则√2sin（x+π/4）属于[-1，√2]
即√2sin（x+π/4）-1属于[-2，√2-1]
则（√2sin（x+π/4）-1）属于[-1，（√2-1）/2]
故函数的值域为[-1，（√2-1）/2]。