Question

定积分换元法的问题，请问最下面一行是为什么？如果φ(t)的值域里[a,b]之外处f(x)出现了第一

定积分换元法的问题，请问最下面一行是为什么？如果φ(t)的值域里[a,b]之外处f(x)出现了第一类间断点，此时仍可以积分啊，为什么要要求f(x)连续呢？只是因为在端点处要分开计算吗？？又不积[a,b]之外的地方，超出的地方会积上来再减下去，为什么还要这样要求

Answer 1

这是一个充分条件。说已经知道f(x)在[A,B]上连续（条件是白给的，不用白不用），此时你要做的事情只要检验phi(t)的值不越出[A,B]就可以了：因为不越出[A,B]自然不越出[a,b].那我是否就检验不越出[a,b]?当然可以，很精确，但你要花更多力气去验证其值在更小的范围内，白白浪费了f(x)在[A,B]内连续的条件。但这里说的是充分条件，并不必要。你纠结的就是不满足是否也可以用这个换元法？当然可以啦！它又不是充分条件。这个注解是给你一次省力的机会，但有时也会用不上。

追问

同济版的说的是“当φ(t)的值域超过[a,b]，但φ(t)满足其余条件时，只要f(x)在Rφ上连续，则定理的结论依然成立”和上图注释说的是一个意思吧？如果在[a,b]外的Rφ上出现第一类间断点，是不是也可以用这个换元法呢

我总感觉超出部分不用非得连续，存在第一类间断点不也可以积吗，假如φ(x)是一个偶函数，那就相当于a积到c再减到b，这时f(x)在bc之间有第一类间断点，这时用这个公式，会出错吗

补充。。。假如φ(x)是一个偶函数比如x^2，它会拱上去设它拱到c

追答

如果f(x)有第一类间断点 应该是可积的但积分公式没有那么简单 ，要将[ab]分成若干满足定理条件的区间 且函数值在分点的函数值要用对应的左右极限代替。总之要化为定理条件的情况 如果要把这些都表达出来 是否太复杂了。还是以此定理为基础 再探讨更复杂从而而且更难表述清楚的做法较稳妥

Answer 2

采纳必答偶