Question

复数计算，求2.3.4题答案与步骤

Answer 1

2.解：(1)原式 = (√5 + √3i)(√5 - √3i)/(√5² + √3²) - (√3 + √5i)(√3 - √5i)/(√3² + √5²)
= (5 - 3i)/8 - (3 - 5i)/8 = 1 - i 。
(2)原式 = (i - 2)/[ 1 + i + i(-i - 1)/2 ] = (i - 2)/[(3 + i)/2] = (2i - 4)/(3 + i) = (2i - 4)(3 - i)/10
= (-10 + 10i)/10 = -1 +i 。
3.解：由 1/z = 1/z1 + 1/z2 = (z1 + z2)/(z1z2) ，得
z = (z1z2)/(z1 + z2) =(5 + 10i)(3 - 4i) / [(5 + 10i) + (3 - 4i)] = 1.4 - 7.3i 。
4.解：z² = (x+ yi)² = x² - y² +2xyi = 5 - 12i ，则
x² - y² = 5 ，且 2xy = -12 。
解得：x = 3，y = - 2；或 x = - 3，y = 2 。
所以，z = 3 - 2i ，或 z = -3 + 2i 。
5.解：设 z = x +yi (其中：x、y∈R) ，则得
z + 4/z = x +yi + 4/(x +yi)
= [x + 4x/(x² + y²)] + [y - 4y/(x² + y²)]
而已知 z + 4/z 的为实数，即得
y - 4y/(x² + y²) = 0...........①。
由 |z -2| = 2 ，得
(x - 2)² + y² = 2²..............②。
同时，∵ z 作分母，∴z ≠ 0，即x² + y² ≠ 0，即得
x ≠ 0 ，且y ≠ 0................③。
联立①②③，可解得：x = 4 ，y = 0 ；或 x = 1 ，y = ±√3。
所以，复数 z = 0，或 z = 1 ± √3i 。