Question

一道函数题目

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x.
设有且只有一个实数a,使得f(a)=a
求函数f(x)的解析式

Answer 1

f(x)满足f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x.
设有且只有一个实数a,使得f(a)=a
所以可得:f(x)-x^2+x=a.
即f(x)=x^2-x+a
故f(a)=a^2-a+a=a
a(a-1)=0
a=0或a=1.
a=0时,f(x)=x^2-x.
f(a)=a^2-a=a
a^2-2a=0.解得a=0或a=2,有二个根,不符合,舍.
a=1时,f(x)=x^2-x+1
f(a)=a^2-a+1=a
a^2-2a+1=0,解得a=1,符合题意.
所以,a=1,f(x)=x^2-x+1

Answer 2

解：f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x
有且只有一个实数a,使得f(a)=a

所以，f(x)-x^2+x=a
f(x)=x^2-x+a

f(a)=a^2-a+a=a^2
而： f(a)=a
所以，a^2=a
a=0,或，1

a=0时，
f(x)=x^2-x
使f(a)=a
则：a^2-a=a
a=0,或，2
与有且只有一个实数a,使得f(a)=a矛盾

a=1时，
f(x)=x^2-x+1
使f(a)=a
则：a^2-a+1=a
a^2-2a+1=0
a=1

所以，f(x)=x^2-x+1

Answer 3

f(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x.
由于定义域为R 那么随便取一个值x=t
只有一个实数a,使得f(a)=a
但是 f(f(t)-t²+t)=f(t)-t²+t 这个说明一点··对于随便选取的t,都有: f(t)-t²+t=a
所以f(x)=x²-x+a
再令x=a
f(a)=a=a²-a+a
所以a=0或者1
①a=0时f(x)=x²-x 此时满足f(2)=2,f(0)=0 与题意矛盾
②a=1 f(x)=x²-x+1 成立
因此，f(x)=x²-x+1