Question

数学问题，急！！

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标的原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA‖BC，D是BC上的一点，BD=四分之一OA=根号2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°
（1）直接写出D点的坐标
(2）设OE=x，AF=y，是确定y与x之间的函数关系
（3）当△AEF是等腰三角形是，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积

Answer 1

D点的坐标(3√2/2, 3√2/2）

E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°.怎样始终保持∠DEF=45°？作DG垂直OA,G是垂足，E是线段OA上的动点，△DGE是直角三角形，△DGE绕D点逆时针旋转90°得△DHJ，连接EH，可证△DHE是等腰直角三角形，即∠DEH=45°,因此EH与AB的交点就是对应的AB上的动点F.

设OE=x，AF=y  则点E、F、H坐标分别是（x,0）（4√2-y/√2, y/√2）（3√2,x）.因为EFH在一条直线上，所以x/ (3√2-x)= (y/√2) /(4√2-y/√2-x)  得y与x之间的函数关系：y=(4√2x-x^2)/3

△AEF是等腰三角形有三种情况

（1）△AEF是等腰直角三角形∠AFE=90°, 此时DE垂直OA，E、G点重合，x=OG=3√2/2,y=(4√2x-x^2)/3=5/2.将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，线段FB在线段FA’上，线段ED在线段EA’上，△BDA’也是等腰直角三角形

△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积=△AEF的面积-△BDA’的面积=(5/2)^2/2-(√2)^2/=17/8

(2) △AEF是等腰直角三角形∠AEF=90°,此时△DGE是等腰直角三角形,x=2OG=3√2

y=(4√2x-x^2)/3=2   AE=√2  将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF, 线段EA’在线段OE上. △A'EF完全在五边形OEFBC内。

△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积=△AEF的面积=(√2)^2/2=1

(3) △AEF是等腰三角形∠A是顶角，此时x+y=OA=4√2,又y=(4√2x-x^2)/3，算出x=3(另种情况不合题意，舍去)y=4√2-3   △AEF腰上的高=y/√2=(8-3√2)/2. 将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，∠BFA’=45°,FA’与OA平行，△A'EF完全在五边形OEFBC内。

△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积=△AEF的面积=[（4√2-3）(8-3√2)/2]/2=41√2/4

Answer 2

1、刚好连对一题的概率：1/4
2、至少连对两题的概率：（1/4）*（1/3）＝1/12

Answer 3

设：冷、热水管单独注满游泳池分别应设计为a、b小时
由题意可得方程组：3a-1=b
a=1/2b
解得：a=1
b=2
所以，……

Answer 4

设方程为y=kx+b，当x=-2的时候，y=5
当x=-1的时候，y=3
这样可以解出k=-2，b=1
那么就是y=-2x+1
带入其他三组数，满足这个公式

Answer 5

先证三角形AFG和三角形AEG全等。得三角形AFE为全等三角形。
设AG交EF为点O。AO=EF/2=1/2
,角AEF为45度
GO=√3
/2，AC=√2。
CG=√2
-1/2-√3
/2
x=y=(√2
-1/2-√3
/2)*√2/2
=1-√2
/4-√6
/4

Answer 6

过P点作PH垂直于CD
因为P点在线段的垂直平分线上
所以PA=PB
（证明三角形PDB全等三角形PCA(HL)）
所以PD=PC
所以三角形PCD是等腰三角形
所以点P在线段CD的垂直平分线上