Question

[非常急]已知函数f(x)=根号3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)(0<φ<π,w>0)为偶函数

且函数y=f(x)图像的两相邻对线轴的距离为π/2.
（1）求f(π/8)的值
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位，得到y=g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间

最好有过程，谢谢了非常感谢

Answer 1

(1)f(x)=根号3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)=2Sin(wx+φ-π/6)
由于是偶函数,即f(x)=f(-x）
即2Sin(wx+φ-π/6)=2Sin(-wx+φ-π/6)
即SinwxCos(φ-π/6)+CoswxSin(φ-π/6)=-SinwxCos(φ-π/6)+CoswxSin(φ-π/6)
即SinwxCos(φ-π/6)=0
又Sinwx不恒等于0，所以Cos(φ-π/6)=0
又0<φ<π，故φ=2π/3
f(x)=2Sin(wx+φ-π/6)=2Coswx
又函数y=f(x)图像的两相邻对称轴的距离为π/2，w>0
可知其周期为π
故w=2
所以f(x)=2Cos2x
f(π/8)=2Cos（π/4）=根号下2
（2）将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位，得到y=g(x)的图像
可知g(x)=2Cos2(x-π/6)=2Cos(2x-π/3)
求递减区间，只需2kπ<=2x-π/3<=2kπ+π
解得kπ+π/6<=x<=kπ+2π/3
递减区间：[kπ+π/6,kπ+2π/3]

Answer 2

∵函数f(x)=根号3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)(0<φ<π,w>0)
f(x)=√3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)＝2sin(wx+φ-π/6)
∵函数y=f(x)图像的两相邻对称轴的距离为π/2
∴函数y=f(x)图像的最小正周期为π，w=2
f(x)=2sin(2x+φ-π/6)
又为函数y=f(x)偶函数
∴φ-π/6=π/2,即，f(x)=√2cos2x
（1）f(π/8)=2cos2x＝√2
（2）g(x)＝2cos2(x-π/6)=2cos(2x-π/3)
2kπ<2x-π/3<2kπ+π==>kπ+π/6<x<kπ+2π/3,函数g(x)单调减；
2kπ+π<2x-π/3<2(k+1)π ==>kπ+2π/3<x<(k+1)π+π/6,函数g(x)单调增；
∴g(x)的单调递减区间为kπ+π/6<x<kπ+2π/3

Answer 3

f(x)=√3sin(wx+φ)-cos(wx+φ)

=2*sin（wx+φ - π/6）

因为是偶函数，所以x=0时，sin（wx+φ - π/6）=1或-1，得φ=2π/3或-π/3

因为0<φ<π，取φ=2π/3

函数y=f(x)图像的两相邻对称轴的距离为π/2，则周期为π

w>0,所以w=2π/π=2

所以f（x）==2*sin（2x+π/2）=2cos2x

1）、f（π/8)=2*cos（2*π/8)=2cos（π/4)=√2

2）、函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位，
则g（x）=2cos【2（x-π/6）】=2cos（2x-π/3）

单调递增区间：2x-π/3∈【2kπ+π，2kπ+2π】，即x∈【kπ+2π/3，kπ+7π/6】
单调递减区间：2x-π/3∈【2kπ，2kπ+π】，即x∈【kπ+π/6，kπ+2π/3】

Answer 4

f(x)=2(cos(π/3)sin(wx+φ)-sin(π/3)cos(wx+φ))
=2sin(wx+φ-π/3)
T=2*(π/2)=π
w=2π/T=2
f(x)是偶函数
只能取φ-π/3=π/2
φ=5π/6
f(x)=2sin(2x+π/2)=2cos2x
f(π/8)=2cos(π/4)=√2
g(x)=f(x-π/6)=2cos(2(x-π/6))=2cos(2x-π/3)
2kπ-π<2x-π/3<2kπ
kπ-π/3<x<kπ+π/6