Question

高数，高数连续与定积分概念问题 麻烦大神指点我下，这道题看着简单，实际上涉及了很多知识，我有些乱。

高数，高数连续与定积分概念问题
麻烦大神指点我下，这道题看着简单，实际上涉及了很多知识，我有些乱。。。

Answer 1

答：
这是一道考察基本概念非常好的题，首先你的解法没有错，恭喜！
1、显然x=0是跳跃间断点，该函数是非连续的；因此：
lim(x→0+) f(x) = 1，因此从x>0的方向趋近0，显然是取x>0的函数段；同理：
lim(x→0-) f(x) = -1
2、积分的定义是：lim(n→+∞) Σ(1,n)f(ξi)Δdi，其中Δdi是代表该函数区间[a,b]的微小区间段的平均值，显然在单个点时，Δdi=0，因为，当n→+∞时，Δdi是无限趋近于单点，它是一个无限接近的定义，不是一个确定的值，当是确定的值时，Δdi就是为0了（相当于常数求导）因此，你的做法是对的！
3、实际上，你可以这样来理解：
原积分 = ∫(-2,0-)f(x)dx+∫(0-,0+)f(x)dx+∫(0+,1)f(x)dx
根据上述分析，显然：∫(0-,0+)f(x)dx=0
4、涉及到的知识：1、连续的概念，2、间断点理解，3、积分定义理解
5、拓展，根据上述分析，广义积分和瑕积分概念呼之欲出！

再：如果你是初学者，你的抽象理解能力很强。建议你考研！

追问

十分感谢您！！！我就是想通过这个题把涉及到的知识点串一遍。您的第2、3条解答实在是我见过的对定积分知识的最完美解答，没有之一！向您学习，还望您今后能够不吝赐教^_^

Answer 2

解是对的
在x=0处右极限为1，左极限为-1
涉及到知识点：定积分存在的条件
可以翻看定积分中“定积分存在的条件"的知识。

追问

十分感谢您，我想再向您请教一下，（一）此题中f(x)可积，是否是依据“f(x)在 [ a,b ]上有界，且只有有限个间断点 ”这条知识？（二）x＝0是第一类间断点中的跳跃间断点；（三）此题解法并非利用牛顿-莱布尼茨公式，而是分段求积分，利用定积分基本性质。多谢多谢😀

追答

完全正确
看来学习不错啊

追问

这题涉及的概念多，值得弄清楚，十分感谢了！！！

Answer 3

你这样算不对，定积分是针对连续函数而言的，你给的函数不是连续函数