Question

在三角形ABC中，若（a+b+c)(a-b+c)=3ac,且tanA+tanC=3+根号3，AB边上的高为4倍根号3，求角A,B,C的大小

Answer 1

a+b+c)(a-b+c)=3ac,(a+c)^2-b^2=3ac,a^2+c^2-b^2=ac,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2,B=π/3=60度.
tan(A+C)=-tanB=-√3,
即(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3+√3)/(1-tanAtanC)=-√3
tanAtanC=2+√3.
tanA=1,tanC=2+√3或tanA=2+√3,tanC=1
于是有:A=45度,B=60度,C=75度或者A=75度,B=60度,C=45度.

设AB边上高CD,CD=4√3,
A=45度,B=60度,C=75度时
AD=CD=4√3,BD=CD/tanB=(4√3)/√3=4
所以c=AB=AD+BD=4+4√3
a=BC=2BD=8,b=AC=(√2)CD=4√6
所以a=8,b=4√6,c=4+4√3

A=75度,B=60度,C=45度时
a=BC=2BD=8,BD=4,AD=CD/tanA=(4√3)/(2+√3)=-12+8√3
c=AB=BD+AD=-8+8√3
b=AC=√(AD^2+CD^2)=8√(6-3√3)
所以a=8,b=8√(6-3√3),c=-8+8√3

Answer 2

(a+b+c)(a-b+c)
=(a+c)^2-b^2
=a^2+c^2+2ac-b^2
=3ac
所以有a^2+c^2-ac=b^2
由余弦定理可以得到a^2+c^2-2accosB=b^2
于是有cosB=1/2,B=60.
tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=-tanB=-√3
于是有tanAtanC=2+√3
于是有tanA=1,tanC=2+√3或tanA=2+√3,tanC=1.
设AB边上的高为CD，则有CD=4√3,而B=60,所以有BC=8,BD=4.
当tanA=1时，A=45,于是有AD=4√3,AC=4√6,AB=AD+BD=4+4√3
当tanA=2+√3时，有AD=8√3-12,AC=12√2-4√6,AB=8√3-8
于是有A=45,B=60,C=75,a=8,b=4√6,c=4+4√3
A=75,B=60,C=45,a=8,b=12√2-4√6,c=8√3-8.