Question

设fx,gx在区间a到b上连续,在区间a到b内可导,且fa=fb=0,gx不等于0,证明在a到b内

设fx,gx在区间a到b上连续,在区间a到b内可导,且fa=fb=0,gx不等于0,证明在a到b内至少存在点ξ，使f'ξ×gξ＝fξ×g'ξ

Answer 1

f（x）和g（x）在[a，b]上连续且可导，g（x）≠0。
所以函数h（x）=f（x）/g（x）在[a，b]上也连续且可导。
因为f（a）=f（b）=0
所以h（a）=f（a）/g（a）=0，h（b）=f（b）/g（b）=0
所以h（x）在[a，b]上连续且可导，并且h（a）=h（b）
所以在[a，b]上至少存在一点ξ∈[a，b]，使得h'（ξ）=0
而h'（ξ）=（f'ξ×gξ-fξ×g'ξ）/g²（x）（除法的导数公式）
而g（x）≠0
所以f'ξ×gξ-fξ×g'ξ=0，f'ξ×gξ=fξ×g'ξ

Answer 2

令F(x)=f(x)/g(x),由条件知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
F'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2,且F(a)=F(b),
于是由罗尔中值定理,至少存在一点c属于(a,b),
使得F'(c)=0,于是f'(c)g(c)-f(c)g'(c)=0.