Question

两个数学题 急！！！

数学题两个： ①设a,b,c为正实数，求证：bc/a +ac/b+ ab/c>=a+b+c ②在锐角三角形△ABC中，求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC。③ps：要有过程

Answer 1

①令a>b>c
有 (1/c)>(1/b)>(1/a)
有 ab > ac > bc
因为 顺序和>乱序和
所以 ab*(1/c) + ac*(1/b) + bc*(1/a) >= ab*(1/a) + ac*(1/c) + bc*(1/b)
化简得 (bc)/a + (ac)/b + (ab)/c >= a + b + c
当且仅当 a=b=c 时，不等式可以取等号。

②证明:
锐角三角形ABC

∵∠A+∠B>90°
∴∠A>90°-∠B
∴sinA>sin(90°-∠B)
∴sinA>cos∠B
同理,sinB>cosC
sinC>cosA
∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

Answer 2

1.∵a、b、c中必有大小，∴不妨设a≥b≥c,则1/a≤1/b≤1/c.同时，有ab≥ac≥bc.由排序不等式可知，当0≤a1≤a2≤a3≤…≤an,0≤b1≤b2≤b3≤…≤bn时，则a1b1＋a2b2＋a3b3…＋anbn≥a1bn＋a2bn－1…＋anb1,由此可知，ab*(1/c) + ac*(1/b) + bc*(1/a) ≥ab*(1/a) + ac*(1/c) + bc*(1/b)，化简即得证，当且仅当 a=b=c 时，不等式可以取等号。
2.∵是锐角三角形，∴∠A＋∠B＞90°,∴90°＞∠A＞90°－∠B.而由y＝sinx在（0，∏／2）上单调递增，得sinA＞sin（90°－∠B），即sinA＞cosB。
同理可得，sinB＞cosC，sinC＞cosA，三式相加，得证。

Answer 3

A+B<90故A<90-B,SINA<SIN[90-B]即SINA<COSB 同理。。。推算得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC