Question

已知一次函数y=kx+b与二次函数y=ax^2的图像如图，其中y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为

已知一次函数y=kx+b与二次函数y=ax^2的图像如图，其中y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A（2，0）、B（0，2），与二次函数图象的交点为P、Q，P、Q的纵座标之比为1:4，求这两个函数解析式

Answer 1

将A（2，0）、B（0，2）代入y=kx+b，得k=-1，b=2，所以y=-x+2.
又OA=OB=2，得△AOB是等腰直角三角形。所以∠BAO=45°。
过P、Q作x轴的垂线，垂足为M、N，则AM=PM，AN=QN，设P（t，at^2),则QN=4at^2，即y=4at^2，代入y=ax^2，解得x=±2t，所以Q（-2t，4at^2),
又AN=2+2t，由数据线APM∽△AQN得（2-t）/（2+2t）=1/4，解得t=1
所以P（1，a）又a=2-1=1，所以y=x^2.

Answer 2

y=kx+b与x轴、y轴的交点分别为A（2，0）、B（0，2)
那么 根据公式得到解析式为
x/2+y/2 =1
化简 : y=-x+2
令 ax^2=-x+2
ax^2+x-2 =0
x1+x2 =-1/a
x1x2=-2/a
y1+y2= -(x1+x2)+4 =1/a+4
y1y2 = (-x1+2)(-x2+2)=x1x2-2(x1+x2)+4 =4

又y1:y2=1:4
那么y2=4y1 代入上面得到
4y1^2 =4, y1=±1 ,去掉负的,y1=1
y2=4
1/a+4 =1+4=5
a=1

所以 二次函数解析式是 y=x^2