Question

1、2、3.。。2009共2009个自然数中，选若干个数使其中任意两数的和不能被四除，最多能取几个自然数？

8月17日前告诉我答案，谢谢！
为什么答案是505？
请告诉我解题过程？
谢谢！！！！！

Answer 1

将这2009个数分成4组，分别是4k,4k+1,4k+2,和4k+3,分别有502，503（多了2009这一个），502，502个。
那么有：
4k1+4k2=4(4k1+k2),因此这组数中不能出现多于1个
(4k1+1)+(4k2+1)=4(K1+k2)+2,因此如果全部由这组数组成，可以任意多个
(4k1+2)+(4K2+2)=4(k1+k2+1),因此这组数中不能出现多于1个
(4k1+3)+4(k2+3)=4(k1+k2+1)+2,因此如果全部由这组数组成，可以任意多个

（4k1+1)+(4K2+3)=4(k1+k2+1),这两组数不能同时存在
4K1+（4k2+1)=4(k1+k2)+1,在4k+1组可以存在一个4k类型
4k1+2+(4k2+1)=4(k1+k2)+3,在4k+1组中可以存在一个4k+2类型

因此最多的组合情况是：所有的4K+1类型数+1个4K类型数+1个4k+2类型数=503+1+1=505个
最多就是505个

Answer 2

一个数被4除的余数有四种：0、1、2、3

2009/4=502……1

说明从1到2009个数中，被4除的余数是0的有502个，余数是1的有503个，余数是2的有502个，余数是3的有502个

其中余数是1的个数最多（503个），且任意两数的和都不是4的倍数

然后再任意的加一个余数是0或2的数就OK了

所以最多取 503＋1=504个

Answer 3

若取的数中有两个或两个以上能被4整除的数，则其和能被4整除，不满足题意。因此取的数中最多有1个数能被4整除。
有两种情况：取的数都不能被4整除，取的数中仅有1个能被4整除。
如果取的数都不能被4整除，则有三种情况：4k+1,4k+2,4k+3，如果取的数中同时存在4的整倍数+1和4的整倍数+3，则和能被4整除，若存在两个4的整倍数+2，则和也能被4整除。
因此尽量多取的情况下，可取的范围仅有：
4a+1,4b+1,4c+1,4d+2
或
4a,4b+1,4c+1,4d+1,4e+2. (这些式子中，+1可以换成+3，但不同时存在)

最多取5个自然数。