Question

导数的应用

设函数f(x)=ln(2x+3)+x^2
(1).讨论f(x)的单调性
(2).求f(x)在区间[-3/4,1/4]上的最大值和最小值。

Answer 1

解：
(1) f'(x)=2/(2x+3)+2x
解不等式2/(2x+3)+2x>0
即[2+2x(2x+3)]/(2x+3)>0
(4x^2+6x+2)/(2x+3)>0
2(2x+1)(x+1)/(2x+3)>0
解得-3/2<x<-1或x>-1/2
故f(x)在区间[-3/2,-1]∪[-1/2,+∞)单调递增
在区间(-∞,-3/2]∪[-1,-1/2]单调递减

(2) 由(1)知
f(x)在区间[-3/4,-1/2]上单调递减，在[-1/2,1/4]上单调递增
∴f(x)的最小值=f(-1/2)=ln2+1/4
∵f(-3/4)=ln(3/2)+9/16, f(1/4)=ln(7/2)+1/16
f(-3/4)-f(1/4)=ln(3/2)-ln(7/2)+1/2=ln(3/7)+1/2<0
∴f(x)的最大值=f(1/4)=ln(7/2)+1/16