Question

求一道高中数学函数题的解析

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=-f(x)+2，且当x∈(0,5)时，f(x)=x，则f(2008)的值是多少？

答案给的是把x+5当做自变量代进去，可以求出f(x)的周期是10.可是“当x∈(0,5)时，f(x)=x“这个条件是干什么用的？怎么想到代x+5的？是不是跟这个条件有关啊？

各路大侠帮帮忙啊~~~谁给解释一下？

Answer 1

∵f(x+5)=-f(x)+2
∴f[(x+5)+5]=-f(x+5)+2
∴f(x+5)=-f(x+10)+2
∴f(x)=f(x+10)
∴f(x)的周期是10
∴f(2008)=f(1998)=f(1988)=...=f(8)
∵f(8)=f(3+5)=-f(3)+2,而当x∈(0,5)时，f(x)=x
∴f(3)=3,f(8)=-1
∴f(2008)=-1

Answer 2

比如f(2008)=f(2003+5)=-f(2003)+2......依次往下推，直到x∈(0,5)

Answer 3

画图是找不到思路的最好方法，在0到5，5到10等等区间上一画，就能大致猜一下。

Answer 4

2008要转换成在区间（0，5）内~

Answer 5

f(x+5)=-f(x)+2,f[(x+5)+5]=-f(x+5)+2
,f(x+5)=-f(x+10)+2
,f(x)=f(x+10)
,f(x)的周期是10,f(2008)=f(1998)=f(1988).=f(8)
∵f(8)=f(3+5)=-f(3)+2,而当x∈(0,5)时，f(x)=x
∴f(3)=3,f(8)=-1
∴f(2008)=-1