绝对值不等式的解法

在初升高衔接教材中有“绝对值不等式”的内容。虽然有例题,但是只有答案,没有分析。比如1≤|2x-1|<5,以及|x-3|-|x+1|<1,请问怎么解?注:我看到有人问了和... 在初升高衔接教材中有“绝对值不等式”的内容。虽然有例题,但是只有答案,没有分析。

比如1≤|2x-1|<5,以及|x-3|-|x+1|<1,请问怎么解?

注:我看到有人问了和我同样的问题。http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push

也许我太笨的缘故吧,看不太懂“最佳答案”,希望有人能讲得更细致一些。

我不明白为什么要讨论,还有怎么讨论……
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2010-08-16 · TA获得超过1988个赞
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解决与绝对值有关的问题(如解绝对值不等式,解绝对值方程,研究含有绝对值符号的函数等等),其关键往往在于去掉绝对值的符号。

而去掉绝对值符号的基本方法有二:其一为平方,其二为讨论。

所谓平方,比如,|x|=3,可化为x^2=9,绝对值符号没有了!

所谓讨论,即x≥0时,|x|=x ;x<0时,|x|=-x,绝对值符号也没有了!

以下,具体说说绝对值不等式的解法。

首先说“平方法”。

不等式两边可不可以同时平方呢?一般来说,有点问题。比如5>3,平方后,5^2>3^2,但1>-2,平方后,1^2<(-2)^2。

***事实上,本质原因在于函数y=x^2在R上不单调。

但我们知道,y=x^2在R+上是单调递增的,因此不等式两边都是非负时,同时平方,不等号的方向不变,这是可以的。

这里说到的***单调性的问题,是高一数学的重点内容,现在不明白可以跳过,到时候可一定要用心听!

有初中数学的基础,也应该明白,对两个非负数来说,大的那个数,它的平方也相应会大一些;反过来,平方大一些的数,这个数本来也会大一些。

比如|2x-1|≥1,两边同时平方,可得(2x-1)^2≥1,

整理得4x^2-4x≥0,即4x(x-1)≥0,因此x≤0或x≥1

========注意========

这里用到了“一元二次不等式的解法”,现在的初中肯定还是要学一元二次方程的解法的,学不学一元二次不等式的解法,我就不清楚了。如果没学,那“平方法”先放一放,跳到“讨论法”吧——见华丽的分割线!

========END========

一般地,|f(x)|≥a(a>0),那么f(x)^2)≥a^2,即f(x)^2)-a^2≥0

因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0,因此f(x))≤-a或f(x)≥a (*)

(PS.若a≤0,则|f(x)|≥a的解集为R。想一想,没问题吧:))

同理,由|f(x)|≤a(a>0),可得-a≤f(x)≤a。 (**)

熟练了以后,结论(*)、(**)都可以直接使用。

比如|2x-1|<5,由结论(**)(当然,这里没有等号,将等号去掉就可以了)可得:

-5<2x-1<5,即-2<x<3

这样,第一个问题“1≤|2x-1|<5”就基本解决了。将不等式|2x-1|≥1,以及不等式|2x-1|<5的解集求交集即可。答案是解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}

再看第二个问题,|x-3|-|x+1|<1

这时候有两个绝对值符号,移项后得到|x-2|<|x+1|+1

平方后(注意,为什么可以两边平方!),得到(x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|

整理,得2|x+1|>7-8x

你看,平方一次,绝对值符号少了一个,但还有一个,怎么办?当然再平方一次!但问题是,这次还能平方吗?

不可以了,因为7-8x的符号未必是正啊!那怎么办?讨论!

若7-8x<0,即x>7/8,则原不等式显然成立!(为什么?) ①

若7-8x≥0,即x≤7/8,则原不等式等价于4(x+1)^2>(7-8x)^2

整理得:4x^2-8x+3<0,即(2x-1)(2x-3)<0,因此1/2<x<3/2

再考虑到x≤7/8,因此1/2<x≤7/8 ②

综合 ①、②,原不等式的解集为{x|x>1/2}

问题解决了!

====================我是华丽的分割线====================

回到问题的一开始,对于|x-3|-|x+1|<1这样的不等式,我们更多的时候,可以从一开始进行讨论。

|x-3|中的绝对值符号能否去掉?去掉以后,式子会发生怎样的变化?关键在于x>3还是x<3,

因此x与3的大小关系是一个关键。

同样的道理,考察|x+1|,可以知道x与-1的大小关系也是一个关键。

于是,在两个关键处,进行如下的讨论:

(1)若x<-1,则x+1<0,x-3<0,

此时,原不等式可化为-(x-3)+(x+1)<1,即4<1,荒谬,舍去!

(2)若-1≤x<3,则x+1≥0,x-3<0,

此时,原不等式可化为-(x-3)-(x+1)<1,即-2x+2<1,解得x>1/2

再考虑到-1≤x<3,因此1/2<x<3

(3)若x≥3,则x+1>0,x-3≥0,

此时,原不等式可化为(x-3)-(x+1)<1,即-4<1,显然成立!因此x≥3

综合(2)(3)的结果可知,原不等式的解集为{x|x>1/2}

那么对于第一个例子,1≤|2x-1|<5,怎么用“讨论法”,应该没问题了吧!

(1)若2x-1≥0,即x≥1/2,则原不等式可化为1≤|2x-1|<5,……

(2)若2x-1<0,即x<1/2,则原不等式可化为1≤1-2x<5,……

以下略。

顺便说一下,x=1/2时,2x-1=0,因此数学上,把x=1/2叫做式“2x-1”的零点。我们以上

使用的“讨论法”,更具体的名称是“零点分段讨论法”。

但就其蕴含的数学思想来说,就是“分类讨论”,这可是高中数学的基本思想方法,一定要掌握!

以上,从绝对值的代数意义出发,即“数”的角度,给出了解绝对值不等式的两种常规思路,希望能给你有所启发。

考虑到绝对值还有着极为有趣的几何意义,因此从“形”的角度出发,也可以得到一些有意思的解法。

这事实上就涉及到高中数学中另一种极为重要的思想方法,即“数形结合”。

篇幅的关系,就不赘述了。(其实,我也累了……)

比如这道初中竞赛题:求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有兴趣可以试一试!

再说明一下,http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push这个帖子我也看到了,准备回答的时候(写了一些,但没有你现在看到的这个那么长篇大论),已经封贴了。还想着白写了呢,正好你又发问,也算是有缘吧……
爱玩的小七
2020-10-24 · TA获得超过264个赞
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两个绝对值不等式的解法

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小明教你学技能
高粉答主

2020-05-04 · 每个回答都超有意思的
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