Question

lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/2+1/3+⋯1/n)^(1/n) 〗

Answer 1

1/(n^2+1)+n/[n^2+n]=[(n^2+n)+n(n^2+1)]/[(n^2+1)(n^2+n)] =n^3/n^4*[1+1/n+2/n^2+1/n^3]/[(1+1/n^2)(1+1/n)] 2/(n^2+2)+(n-1)/[n^2+n-1]=[2(n^2+n-1)+(n-1)(n^2+2)]/[(n^2+2)(n^2+n-1)] =n^3/n^4*[1+1/n+4/n^2+-4/n^3]/[(1+2/n^2)(1+(n-1)/n^2)] ... 上面各式 都是分子最高项为3 分母最高项为4 等价于1/n 右边第2项在n趋向无穷时为1 n为奇数时一共有 (n-1)/2项 n为偶数时为n/2项 因此原式=lim (1/n*(n-1)/2)=1/2 或者 lim(1/n*n/2)=1/2

追问

与提出的问题没有多大关系

Answer 2

两边夹:0=n×n^2<原式/n<n×1/n=1,
∴原式与n同阶，即原式→∞