Question

已知曲线C;x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,k不等于-1.

1.求证：曲线c都是圆，并且圆心在同一条直线上
2.证明：曲线c过定点
3.若曲线c与x轴相切，求k的值
如果没有条件k不等于-1要怎么讨论，为什么k不能等于-1

Answer 1

⑴x^2＋y^2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0
x^2＋2kx＋k^2＋y^2＋2(2k＋5)y＋(2k＋5)^2＝－10k－20＋k^2＋(2k＋5)^2
(x＋k)^2＋(y＋2k＋5)^2＝5(k＋1)^2
曲线C是以(－k，－2k－5)为圆心，√5·|k＋1|为半径的圆，其中k≠－1
圆心在直线x＝－k，y＝－2k－5上，即在直线2x－y－5＝0上，不包括点(1，－3)

⑵整理得：k(2x＋4y＋10)＋x^2＋y^2＋10y＋20＝0
当2x＋4y＋10＝x^2＋y^2＋10y＋20＝0时上式恒成立，与k的取值无关
解得：x＝1，y＝－3
故曲线恒经过点(1，－3)

⑶当曲线满足圆心到x轴的距离等于圆的半径时，曲线与x轴正切
即有：|－2k－5|＝√5·|k＋1|
解得：k＝4√5＋2或k＝12－6√5

没有条件k≠－1时，也只是要考虑k的值不能使半径为零，半径为零时，圆退化成一个点

Answer 2

前2问，满意回答是对的，
但是第3问他k算错了，纠正一下：
（3）|－2k－5|＝√5·|k＋1|
两边平方，然后化简，得：k2-10k-20=0
然后用求根公式：2a分之﹣b加减根号b2-4ac（抱歉，特殊符号打不来），k=5±3√5