Question

高数，数列极限题，求解

第四题的三个小问，求思路或者过程
意思是证明其收敛并求其极限

Answer 1

1.   解：

X1 = 1  < [ 5^(1/2) + 1 ]/2

假设    Xn  <   [ 5^(1/2) + 1 ]/2

 则  Xn+1  = 2 -  1/( 1+Xn)   <    2 -  1/  { 1+[ 5^(1/2) + 1 ]/2 }  =   [ 5^(1/2) + 1 ]/2

由数学归纳法知，

 Xn  <   [ 5^(1/2) + 1 ]/2

又    Xn+1  - Xn  = 2 -  1/( 1+Xn) - Xn 

= {[ 5^(1/2) + 1 ] /2  - Xn }  * {[ 5^(1/2) - 1 ] /2  +  Xn } / (1+ Xn)    >  0

故  { Xn} 单调增大且有上界。 故其极限存在，并设

lim { Xn }  =  a

式子   Xn+1  = 2 -  1/( 1+Xn 的两边求极限，有

 a = 2 - 1/ (1+a)

解得     a = [ 5^(1/2) + 1 ]/2

2.  解：

 因为   （3^n)^(1/n)   <  an   < （3 * 3^n)^(1/n)   

  即      3   <  an   < 3 * 3^(1/n)

而    lim { 3 * 3^(1/n) } = 3

故     lim { an } = 3

3.  解：

Xn+1 = (1/2) * ( Xn + a/Xn )  ≥ [ Xn * (a/Xn) ]^(1/2) = a^(1/2)

Xn+1  ≥   a^(1/2)

Xn+1 / Xn  = (1/2) * ( Xn + a/Xn )  / Xn 

=  (1/2) * [ 1 + a/(Xn ) ^2 ]    ≥ [ a/(Xn ) ^2 ]^(1/2)  = a^(1/2) / Xn    ≥  1

故  { Xn} 单调增大且有上界。 故其极限存在，并设

lim { Xn }  =  c 

式子   Xn+1  = (1/2) * [ 1 + a/(Xn ) ^2 ] 的两边求极限，有

 c =  (1/2) * [ c + a/c ]

解得     c  = a^(1/2)

Answer 2

　　这些题都是要用到 “单调有界定理” 的，需要分别证明单调性和有界性，一般要用数学归纳法。教材上有例题，试试，如何？

Answer 3

我英语老师死得早，我只想问这个题是问的啥

追问

意思是证明这三个数列收敛并求其极限

Answer 4

追答

为何拿了答案就？？