Question

怎么求通过直线（x-4）/5=（y+3）/2=z/1的平面束方程？

Answer 1

方法1：
设平面束π为： A(x － x0) + B(y － y0) + C(z － z0) ＝ 0
因为平面束π通过直线L，可以取点P0（x0，y0，z0）为直线上特殊点 （4, －3 0）
则平面束π为： A(x － 4) + B(y ＋ 3) + Cz ＝ 0

又直线L的方向相量（5，2，1）与平面束π的法向量（A，B，C）垂直，则
（A，B，C） * （5，2，1）＝0
即5A + 2B + C＝0
假定A ＝ 2μ B＝5λ 则 C＝－10μ － 10λ
所以平面束π为： 2μ(x － 4) + 5λ(y + 3) －10(μ + λ)z ＝ 0
经整理得平面束π为： μ(2x － 10z - 4) + λ(5y -10z + 15) ＝ 0 ①

方法2： 直线（x-4）/5 =（y+3）/2 = z/1
即 x - 4 = 5z
y + 3 = 2z

所以平面束π为： μ(x - 5z + 4) + λ( y - 2z + 3) ＝ 0 ②

总结，希望对你学习有些用处：
1、①和②的区别在于，两个系数之间有一个倍数关系.
2、方法1先假设了平面束方程，然后逐步确定系数和参数；
3、方法2先用直线的标准式（点法式、对称式）转化为一般式，然后构造平面束方程；
4、平面束一般取完整的形式： μ (F1方程) + λ (F2方程) ＝ 0 其中μλ不同时为0；
有时候为了方便忽略F2方程，取为： F1方程 + λ (F2方程) ＝ 0 不包括F2方程平面；

追问

为什么书上的答案是（x-4）/5-（y+3）/2+u（（y+3）/2-z）=0

追答

直线（x-4）/5 =（y+3）/2 = z/1
即 (x - 4)/5 =（y+3）/2
(y + 3) = 2z
也即
(x - 4)/5 - （y+3）/2 = 0 （1）
(y + 3)/2 - z = 0 （2）

平面束取简化的形式： F1方程 + λ (F2方程) ＝ 0
即 〔 (x - 4)/5 - （y+3）/2 〕 + + λ 〔(y + 3)/2 - z 〕 ＝ 0

强烈建议你使用我的第一种方法，虽然方法过程太麻烦，但掌握之后足够让你解决一大类问题.