Question

平面向量

平面上的两个向量OA,OB,满足|OA|=a，|OB|=b，且OA垂直OB，a、b平方和等于4，向量OP=xOA（向量）+yOB（向量）（x，y属于R),且a平方乘以（x-0.5）+b平方乘以（y-0.5）=1。
（1)如果M为线段AB的中点，求证：MP（向量）=（x-0.5）·OA(向量）+（y-0.5）·OB（向量）
（2）求|OP|的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值

Answer 1

⑴ MP＝OP-OM＝（xOA+yOB）-（OA+OB）/2＝（x-0.5）OA+（y-0.5）OB.

⑵ 应该是条件打漏：是a²（x-0.5）²+b²（y-0.5）²=1。

即|MP|＝1,|OP|的最大值＝|OM{+1＝[（a²+b²）/4]+1＝2.

∵a²+b²＝4（常数）,a＝b＝√2时，ab有最大值2。

四边形OAPB面积的最大值 ＝ab/2+[√（a²+b²）×1]/2＝1+1＝2。

Answer 2