Question

一道定积分的问题。

函数f(x),当x<=3时，f(x)=x+1;
当x>3时， f(x)= - 2x+10

对于x>=0,有g(x)=∫(这里下面是0，上面是x，我不知道怎么打)f(t)dt

当0<=x<=3时，g(x)=1/2 x^2(x的平方)+x

当x>3时，g(x)= - x^2+10x - A

用C表示曲线g(x), 切于C上的点P(a，g(a))的直线过（0，5/2),此时直线的斜率为B

求A，B

请大家帮帮忙，不吝赐教，不胜感激。

Answer 1

解：x>3时，
g(x)=∫{t=0,x}f(t)dt=∫{t=0,3}(t+1)dt+∫{t=3,x}(-2t+10)dt
=15/2-x^2+10x-21
=-x^2+10x-27/2
所以A=27/2.

若0≤a≤3，则切线方程为y-5/2=(a+1)x,它过点(a,a^2/2+a),所以
a^2/2+a-5/2=(a+1)a，a^2/2=-5/2此为不可能。
所以a>3,则切线方程为：y-5/2=(-2a+10)x，它过点(a,-a^2+10a-27/2),所以
-a^2+10a-27/2-5/2=(-2a+10)a，a^2=16，a=4.

于是B=-2a+10=2.