Question

若扇形的周长是一定值C ( C>0)，当扇形的圆心角a是多少弧度时，该扇形有最大面积？

若扇形的周长是一定值C ( C>0)，当扇形的圆心角a是多少弧度时，该扇形有最大面积？设90度＜a＜180度，角a的终边上一点为P ( x,根号5），且cosa=（根号2乘以x）除以4，求sina与tana的值。

Answer 1

以知扇形的周长为c(c>0),当扇形的圆心角为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值。

设扇形的半径为r，圆心角为a，则弧长为ar
c=2r+ar=(2+a)r--->r=c/(2+a)

面积S=(a/2)r^=(a/2)c^/(2+a)^
ac^=2(2+a)^S=2Sa^+8Sa+8S--->2Sa^+(8S-c^)a+8S=0
判别式=(8S-c^)^-(8S)^=-c^(16S-c^)≥0---->S≤c^/16
当S有最大值c^/16时，a=(c^-8S)/(4S)=2(弧度)

Answer 2

设A的弧度为a，则
面积S=aR^2/2
周长C=2R+aR即a=C/R-2
S=(C/R-2)R^2/2=-R^2+CR/2=-(R-C/4)^2+C^2/16
则当R=C/4时扇形面积最大
此时a=2弧度