Question

若关於x的不等式x-1的绝对值减x+1的绝对值大於a1.恒成立，求a的范围 2.若此式有解，求a的范围

Answer 1

1.解：由绝对值不等式-|a-b|≤|a|-|b|≤|a-b|，可得

-|(x-1)-(x+1)|≤|x-1|-|x+1|≤|(x-1)-(x+1)|=2，

即-2≤|x-1|-|x+1|≤2

因此，要使|x-1|-|x+1|>a恒成立，应有a<-2

2解：同1可得-2≤|x-1|-|x+1|≤2

因此，要使|x-1|-|x+1|>a有解，应有a<2

PS.如果 不熟悉绝对值不等式，可以构造函数f(x)=|x-1|-|x+1|

这是一个分段函数。

（1）当x<-1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；

（2）当-1≤x≤1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x，

此时由-1≤x≤1，可得-2≤-2x≤2，即-2≤f(x)≤2；

（3）当x>2时，f(x)=(x-1)-(x+1)=-2;

综合（1）（2）（3），可知-2≤f(x)≤2，即-2≤|x-1|-|x+1|≤2