Question

高中充要条件问题

试寻求二次函数f(x)=ax^2+bx+c为偶数的充要条件,并加以证明

Answer 1

偶函数
f(-x)=f(x)
ax²-bx+c+ax²+bx+c
2bx=0
所以b=0

b=0
则f(x)=ax²+c
所以f(-x)=ax²+c=f(x)
所以是偶函数

所以充要条件是b=0

Answer 2

若是偶函数则f(x)-f(-x)=0
所以(ax^2+bx+c)-[a(-x)^2+b(-x)+c]=0
ax^2+bx+c-ax^2+bx-c=0
2bx=0
所以b=0

若b=0
则f(x)=ax^2+c
定义域R关于原点对称
f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c=f(x)
所以f(x)是偶函数

所以充要条件是b=0

祝您学习愉快

Answer 3

是偶函数吧？前提是a不为0吧？2a分之b等于0，也就是对称轴在Y轴上，就是充要条件了。