Question

证明线性变换那题

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Answer 1

容易看出这是一个变换（因为对每一个f(x),都有一个R[x]4与它对应），故只需证明这个变换保持加法，保持数乘就可以了。保持数乘容易证明，因为每个多项式乘以一个常数后系数都乘以这个常数，所以变换后每个系数都可以把一个k提出来，这样就证明了T(kR[x])=kT(R[x])了。保持加法的话，就是要证明T(R1[x]+R2[x])=T(R1[x])+T(R2[x]),两个多项式的和的系数就是对应项系数的和，所以映射过去后还是这个形式，而等式右边先映射过去后再加起来对应系数也是一样的。这样就能证明保持加法，保持数乘运算了。