Question

matlab怎么利用dft对连续信号逼近

Answer 1

所谓信号的谱分析，就是时频域转换，变成数学知识，就是对信号进行傅立叶变换（FT），连续信号与系统的傅立叶变换不便于用计算机进行计算。而在Matlab中的绘图操作，是通过将一些离散的点连接而成。求连续信号的频谱，应用的是离散傅立叶变换（DFT）。

下面这段程序是绘制简单的Sa函数时域和频域图像。
Sa(t)=sin(200t)/200t

对于这个函数我们要说明一点。由傅立叶变换理论知道，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若信号频谱有限宽，则其持续时间无限长。因此要对其进行谱分析就必须在时域采样无穷多个点，这又显然不满足DFT变换的要求。从工程实际角度来看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的，因此这里我们截取（-5≤t≤5）时间段的Sa（t）。下面是程序代码：

Sa.m
Clear
t0=10; %定义时间长度10s，即（-5≤t≤5）
ts=0.001; fs=1/ts; %定义采样周期、采样频率
df=0.5; %定义频谱分辨率(见说明1)。
t=[-t0/2:ts:t0/2]; %定义时间序列
--------------------------------------------------------------------------------------------------
%定义函数Sa(t):

x=sin(200*t);
m=x./(200*t);
w=t0/(2*ts)+1; %由于sin(t)/t在t=0时Matlab会得出值NaN，所以需要加以修正。
m(w)=1;
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�T变换：
[M,mn,dfy]=fftseq(m,ts,df); %对序列m进行DFT,fftseq()为自定义函数，代码在下面。
M=M/fs; %频率缩放
f=[0:dfy:dfy*length(mn)-dfy]-fs/2; %定义频率轴，将频谱搬移到0频附近。
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%绘图：
pause;
subplot(2,1,1);
plot(t,m);
xlabel('时间');
axis([-0.15,0.15,-0.5,2]);
subplot(2,1,2);
plot(f,abs(fftshift(M))); �tshift见说明4
xlabel('频率');
axis([-50,50,0,0.02]);
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%序列的DFT函数

function[M,m,dfy]=fftseq(m,tz,df)
%m:时域序列
%tz:采样周期
�:变换所要求达到的最低频谱分辨率
%M:变换后的频域序列
�y:实际的频谱分辨率
%fz=1/tz;
if nargin==2 %nargin函数表示函数原参数的个
数，即看有没有要求频谱分辨率

n1=0;
else n1=fz/df; %n1表示满足频谱分辨率的最小采样点数
end
n2=length(m); %n2表示满足频域采样定理（见说明2）的最小采样点数。
n=2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2)));
%n表示实际采样点数，取n1和n2二者中的大值，而且进行DFT变换时采用Matlab自带的FFT变换函数，因此需要n为2的幂次。Nextpow2()见说明3
M=fft(m,n);
dfy=fz/length(M); %实际的频谱分辨率=采样频率fz/实际采样点数length

从图中可以看出，在频率函数的拐角处有细微的波动，这是因为我们一开始说的，截取（-5≤t≤5）时间段做DFT产生的原因。

说明1：频谱分辨力----谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔。N点DFT就是对信号的频谱在[0-fs]（fs指采样频率）上的N点等间隔采样，那么频谱分辨率df=fs/N.

说明2：频域采样定理----如果序列时域x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才可由频域采样X（k）恢复原序列x(n),否则产生时域混叠现象。

说明3：nextpow2(x)----取大于并最接近x的2次幂.

说明4：matlab中的fftshift的功能是零频移到频谱中心,其实就是将一个数组的前一半和后一半对调。具体点说，做n（n为偶数）点FFT不用FFTSHIFT时，第1点对应的模拟频率是零频，第2点是Fs/n，第n/2+1点是Fs/2，第n点是Fs(n-1)/n。用FFTSHIFT后，将Fs/2到Fs(n-1)/n的频点，也就是第n/2+1点到第n点搬移到第1到第n/2点，将第1点到第n/2点搬移到第n/2+1到第n点。所以原来的第1点（模拟频率是零频）搬移到第n/2+1点。说晕了吧，看下面两幅图就明白了，前一个是没有进行fftshift变换的，后一个是进行fftshift变换之后的。